2. (Для работы в парах.) Даны выражения: a² + 1, −a⁴, 3 + (5 − a)², −a − a³, −a² + 8, 3a + 4, a⁴ + a² + 8, −a⁶ − 4a⁸ − 1, −7a − 4, −a⁸ − 9. Какие из этих выражений принимают: а) только положительные значения; б) только отрицательные значения?

Квадраты чётных степеней неотрицательны при любом действительном a.

1. а) Только положительные значения принимают \(a^2+1\), поскольку \(a^2\ge 0\); \(3+(5-a)^2\), поскольку квадрат неотрицателен и к нему прибавлено 3; и \(a^4+a^2+8\), поскольку оба степенных слагаемых неотрицательны и прибавлено 8.
2. б) Только отрицательные значения принимают \(-a^6-4a^8-1\) и \(-a^8-9\). В первом выражении первые два слагаемых неположительны, а последнее равно −1; во втором \(-a^8\le 0\), и к нему прибавлено −9.

Остальные выражения не имеют постоянного строгого знака на всех действительных a либо могут равняться нулю: \(-a^4\) равно нулю при \(a=0\), а выражения \(-a-a^3\), \(-a^2+8\), \(3a+4\) и \(-7a-4\) меняют знак.

Ответ: а) \(a^2+1\), \(3+(5-a)^2\), \(a^4+a^2+8\); б) \(-a^6-4a^8-1\), \(-a^8-9\).