2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Доказательство равенства накрест лежащих углов:

Пусть прямые \( a \) и \( b \) параллельны, и секущая \( c \) пересекает их. Образуются углы. Рассмотрим накрест лежащие углы \( ∠1 \) и \( ∠2 \).

Метод 1: Использование свойства соответственных углов.

Пусть \( ∠3 \) — угол, соответственный углу \( ∠1 \). Так как прямые \( a \) и \( b \) параллельны, то \( ∠1 = ∠3 \) (по свойству соответственных углов).

Углы \( ∠2 \) и \( ∠3 \) являются вертикальными, следовательно, \( ∠2 = ∠3 \).

Так как \( ∠1 = ∠3 \) и \( ∠2 = ∠3 \), то \( ∠1 = ∠2 \).

Метод 2: Использование свойства смежных углов.

Пусть \( ∠4 \) — угол, смежный с углом \( ∠1 \). Тогда \( ∠1 + ∠4 = 180^{\circ} \).

Угол \( ∠4 \) и угол \( ∠2 \) являются односторонними углами при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( c \). Сумма односторонних углов равна \( 180^{\circ} \), то есть \( ∠4 + ∠2 = 180^{\circ} \).

Из равенств \( ∠1 + ∠4 = 180^{\circ} \) и \( ∠4 + ∠2 = 180^{\circ} \) следует, что \( ∠1 = ∠2 \).

Вывод: Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.