2. Доказать, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Проведем высоту BH к основанию AC. По определению высоты, BH \( \perp \) AC, значит, \( \angle BHA = \angle BHC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим два треугольника: \( \triangle BHA \) и \( \triangle BHC \).

• Стороны: AB = BC (по условию, так как треугольник равнобедренный). BH — общая сторона для обоих треугольников.
• Углы: \( \angle BHA = \angle BHC = 90^{\circ} \) (по построению, так как BH — высота).

По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \( \triangle BHA = \triangle BHC \).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие элементы равны:

• Стороны: AH = HC. Это означает, что точка H является серединой основания AC. Следовательно, BH является медианой.
• Углы: \( \angle ABH = \angle CBH \). Это означает, что луч BH делит угол ABC пополам. Следовательно, BH является биссектрисой.

Таким образом, высота BH, проведенная к основанию AC равнобедренного треугольника, является и медианой, и биссектрисой.

Доказано.