3. Задача на тему «Свойства прямоугольных треугольников». В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, AC + AB = 18 см. Найти АС и АВ.

Решение:

Дано:

• \( \triangle ABC \) — прямоугольный, \( \angle C = 90^{\circ} \)
• Внешний \( \angle A_{внеш} = 120^{\circ} \)
• \( AC + AB = 18 \) см

Найти: AC, AB

1. Найдём внутренний угол А:

Внешний угол смежный с внутренним углом треугольника. Сумма смежных углов равна 180°.

\( \angle A = 180^{\circ} - \angle A_{внеш} = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \)

2. Найдём угол В:

Сумма углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

\( \angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \)

3. Применим свойства прямоугольного треугольника:

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае, катет AC лежит против угла B (30°), а AB — гипотенуза.

\( AC = \frac{1}{2} AB \)

4. Решим систему уравнений:

У нас есть два уравнения:

1. \( AC = \frac{1}{2} AB \)
2. \( AC + AB = 18 \)

Подставим первое уравнение во второе:

\( \frac{1}{2} AB + AB = 18 \)

\( \frac{3}{2} AB = 18 \)

\( AB = 18 \cdot \frac{2}{3} = 6 \cdot 2 = 12 \) см

Теперь найдём AC:

\( AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \) см

Проверка: \( AC + AB = 6 + 12 = 18 \) см. Верно.

Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см.