2. Доказать признак равенства треугольников по трем сторонам.

2. Признак равенства треугольников по трем сторонам (ССС)

Теорема: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника: \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), такие, что \( AB = A_1B_1 \), \( BC = B_1C_1 \), \( AC = A_1C_1 \).

Приложим \( \triangle ABC \) к \( \triangle A_1B_1C_1 \) так, чтобы сторона AB совпала со стороной \( A_1B_1 \). При таком наложении вершина C может лежать либо по одну сторону от прямой \( A_1B_1 \), либо по другую.

Случай 1: Вершины C и \( C_1 \) лежат по разные стороны от прямой \( A_1B_1 \).

Соединим отрезком \( CC_1 \). Отрезок \( CC_1 \) пересекает \( A_1B_1 \) в некоторой точке D. Так как \( AC = A_1C_1 \) и \( BC = B_1C_1 \), то \( \triangle ACC_1 \) и \( \triangle BCC_1 \) — равнобедренные. Поэтому \( \angle ACD = \angle A_1CD_1 \) и \( \angle BCD = \angle B_1CD_1 \).

\( \angle ACB = \angle ACD + \angle BCD = \angle A_1CD_1 + \angle B_1CD_1 = \angle A_1CB_1 \).

Так как \( AC = A_1C_1 \), \( BC = B_1C_1 \) и \( \angle ACB = \angle A_1CB_1 \), то по первому признаку равенства треугольников \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Случай 2: Вершины C и \( C_1 \) лежат по одну сторону от прямой \( A_1B_1 \).

Соединим отрезком \( CC_1 \). Отрезок \( CC_1 \) пересекает \( A_1B_1 \) в точке D. \( \triangle ACC_1 \) и \( \triangle BCC_1 \) — равнобедренные. \( \angle ACD = \angle A_1CD_1 \) и \( \angle BCD = \angle B_1CD_1 \).

\( \angle ACB = \angle ACD - \angle BCD = \angle A_1CD_1 - \angle B_1CD_1 = \angle A_1CB_1 \).

По первому признаку равенства треугольников \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Вывод: Признак равенства треугольников по трем сторонам доказан.