2. Доказать свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

Решение:

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию: Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является также его медианой и высотой.

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\) и боковыми сторонами \(AB = BC\). Проведем биссектрису \(BD\) угла \(\angle ABC\) к основанию \(AC\). Нам нужно доказать, что \(BD\) также является медианой (т.е. \(AD = DC\)) и высотой (т.е. \(\angle BDA = 90°\)).

Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\):

1. \(AB = BC\) (по условию, \(ABC\) — равнобедренный треугольник).
2. \(\angle ABD = \angle CBD\) (по определению биссектрисы \(BD\)).
3. \(BD\) — общая сторона для обоих треугольников.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \(\triangle ABD = \triangle CBD\).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны:

• \(AD = DC\) (следовательно, \(BD\) — медиана).

• \(\angle BDA = \angle BDC\) (так как \(\angle BDA + \angle BDC = 180°\) как смежные углы, и \(\angle BDA = \angle BDC\), то \(2\angle BDA = 180°\), откуда \(\angle BDA = 90°\)). Следовательно, \(BD\) — высота.

Ответ: Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является также его медианой и высотой.