2. Доказать теорему 5.2 (Окружность, вписанная в треугольник).

Нумерация теорем зависит от учебника. Рассмотрим стандартную теорему о вписанной окружности: в любой треугольник можно вписать окружность.

1. Пусть дан треугольник ABC. Проведём биссектрисы углов A и B. Они пересекаются в точке I.
2. Точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла. Поэтому расстояния от I до сторон AB и AC равны, как и расстояния от I до сторон AB и BC.
3. Следовательно, расстояния от I до всех трёх сторон равны. Обозначим это расстояние через r.
4. Окружность с центром I и радиусом r касается каждой из трёх сторон: расстояние от центра до каждой стороны равно радиусу. Значит, эта окружность вписана в треугольник ABC.

Точка I называется центром вписанной окружности.

Вывод: в любой треугольник можно вписать окружность.