2. Доказать теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника (прямую или обратную). Следствия из теоремы.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника:

Прямая теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC, в котором сторона AC > AB. Нужно доказать, что угол ABC > угла ACB.

1. Шаг 1: Отложим на стороне AC отрезок AD, равный стороне AB.
2. Шаг 2: Соединим точки B и D отрезком BD.
3. Шаг 3: Треугольник ABD — равнобедренный (AB = AD). Следовательно, углы при основании равны: \( ∠ ABD = ∠ ADB \).
4. Шаг 4: Угол ADB является внешним для треугольника BDC. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Поэтому \( ∠ ADB = ∠ BCD + ∠ DBC \).
5. Шаг 5: Из равенства \( ∠ ABD = ∠ ADB \) и \( ∠ ADB = ∠ BCD + ∠ DBC \) следует, что \( ∠ ABD > ∠ BCD \) (так как \( ∠ DBC \) — положительный угол).
6. Шаг 6: Угол ABC состоит из двух углов: \( ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC \).
7. Шаг 7: Поскольку \( ∠ ABD > ∠ BCD \) и \( ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC \), то \( ∠ ABC > ∠ BCD \).

Обратная теорема:

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Следствия из теоремы:

• Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катетов. (Против наибольшего угла — прямого — лежит наибольшая сторона — гипотенуза).
• Следствие 2: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (Если стороны равны, то и противолежащие углы равны).
• Следствие 3: В равностороннем треугольнике все углы равны.