2) Доказать теорему о вписанном угле.

Теорема о вписанном угле:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

Рассмотрим три случая:

1. Центр окружности лежит на одной из сторон угла. Пусть угол ABC вписанный, а центр O лежит на стороне BC. OA = OB = OC (радиусы). Треугольник AOB — равнобедренный, поэтому \( \angle OAB = \angle OBA = \angle ABC \). Центральный угол AOC является внешним для треугольника AOB, поэтому \( \angle AOC = \angle OAB + \angle OBA = 2 \angle ABC \). Так как \( \angle AOC \) — центральный угол, то его градусная мера равна дуге AC. Следовательно, \( \angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC \).
2. Центр окружности лежит внутри угла. Проведём через вершину угла B и центр окружности O диаметр BD. Тогда \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \). По первому случаю, \( \angle ABD = \frac{1}{2} \text{дуги } AD \) и \( \angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуги } DC \). Следовательно, \( \angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } AD + \frac{1}{2} \text{дуги } DC = \frac{1}{2} (\text{дуги } AD + \text{дуги } DC) = \frac{1}{2} \text{дуги } AC \).
3. Центр окружности лежит вне угла. Проведём через вершину угла B и центр окружности O диаметр BD. Пусть угол ABC. Тогда \( \angle ABC = \angle ABD - \angle CBD \). По первому случаю, \( \angle ABD = \frac{1}{2} \text{дуги } AD \) и \( \angle CBD = \frac{1}{2} \text{дуги } CD \). Следовательно, \( \angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } AD - \frac{1}{2} \text{дуги } CD = \frac{1}{2} (\text{дуги } AD - \text{дуги } CD) = \frac{1}{2} \text{дуги } AC \).

Теорема доказана.

Ответ: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.