2. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Пусть a и b — две скрещивающиеся прямые.

Построение плоскости через прямую a.

1. Возьмём на прямой a точку A.
2. Через точку A проведём прямую a₁, параллельную прямой b.
3. Прямые a и a₁ пересекаются в точке A, поэтому они определяют единственную плоскость α.

Плоскость α содержит прямую a₁, параллельную прямой b. Следовательно, прямая b параллельна плоскости α: она не пересекает α, иначе, поскольку b ∥ a₁ и a₁ лежит в α, прямая b должна была бы лежать в α, что невозможно для скрещивающихся прямых a и b.

Единственность. Любая плоскость, проходящая через a и параллельная b, должна содержать через точку A прямую, параллельную b. Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Значит, такая плоскость обязана содержать прямые a и a₁, а потому совпадает с плоскостью α.

Аналогично через прямую b проходит единственная плоскость β, параллельная прямой a.

Ответ: через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.