3. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, ребро которого 4 см. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, D₁ и M, где M — середина ребра BC. Вычислите периметр сечения.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B(4; 0; 0), C(4; 4; 0), D(0; 4; 0), D₁(0; 4; 4). Так как M — середина BC, то M(4; 2; 0).

Плоскость A D₁ M имеет уравнение:

\[x-2y+2z=0.\]

Она пересекает рёбра куба в точках A, M, D₁ и ещё в точке N на ребре CC₁. Для точки N имеем x=4, y=4, поэтому:

\[4-2\cdot4+2z=0,\quad 2z=4,\quad z=2.\]

Следовательно, N — середина ребра CC₁. Сечение куба — четырёхугольник A M N D₁.

Вычислим длины сторон сечения:

\[AM=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5\text{ см};\]

\[MN=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\text{ см};\]

\[ND₁=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5\text{ см};\]

\[D₁A=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\text{ см}.\]

Тогда периметр сечения:

\[P=AM+MN+ND₁+D₁A=2\sqrt5+2\sqrt2+2\sqrt5+4\sqrt2=4\sqrt5+6\sqrt2\text{ см}.\]

Ответ: сечение — четырёхугольник A M N D₁, где N — середина ребра CC₁; периметр равен \(4\sqrt5+6\sqrt2\) см.