2. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (3 признак параллельности прямых).

Доказательство:

Дано: две прямые $$a$$ и $$b$$, секущая $$c$$. Угол 1 и угол 2 — односторонние, $$\angle 1 + \angle 2 = 180°$$.

Доказать: $$a \parallel b$$.

Доказательство от противного:

1. Предположим, что прямые $$a$$ и $$b$$ не параллельны. Тогда при их пересечении секущей $$c$$ образуются углы, сумма которых не равна 180° (если односторонние) или не равны (если накрест лежащие/соответственные).
2. Пусть прямая $$a$$ пересекает секущую $$c$$ в точке $$A$$, а прямая $$b$$ — в точке $$B$$.
3. Пусть $$\angle 1$$ — угол между $$a$$ и $$c$$, $$\angle 2$$ — односторонний с $$\angle 1$$.
4. Через точку $$A$$ проведём прямую $$d$$ так, чтобы она была параллельна прямой $$b$$.
5. По определению параллельных прямых, сумма односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых $$d$$ и $$b$$ секущей $$c$$, равна 180°.
6. Пусть $$\angle 3$$ — односторонний угол с $$\angle 1$$ при пересечении прямых $$d$$ и $$b$$ секущей $$c$$. Тогда $$\angle 1 + \angle 3 = 180°$$.
7. По условию задачи, $$\angle 1 + \angle 2 = 180°$$.
8. Сравнивая два равенства, получаем $$\angle 1 + \angle 3 = \angle 1 + \angle 2$$, откуда следует, что $$\angle 3 = \angle 2$$.
9. Но $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$ — односторонние углы при пересечении прямых $$a$$ и $$b$$ секущей $$c$$. Если $$\angle 3 = \angle 2$$, то прямая $$d$$ совпадает с прямой $$a$$.
10. Так как прямая $$d$$ была построена параллельно прямой $$b$$, то и прямая $$a$$ параллельна прямой $$b$$.

Вывод: Если сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.