№2. Докажите, что если в параллелограмме одна из диагоналей является биссектрисой угла, то это ромб.

Пусть в параллелограмме \(ABCD\) диагональ \(AC\) — биссектриса угла \(DAB\). Тогда \(\angle DAC=\angle CAB\).

1. Так как \(AD\parallel BC\), накрест лежащие углы равны: \(\angle DAC=\angle ACB\).
2. Следовательно, \(\angle CAB=\angle ACB\), поэтому в треугольнике \(ABC\) противоположные этим углам стороны равны: \(AB=BC\).
3. В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB=CD\) и \(BC=AD\). Вместе с \(AB=BC\) это означает, что все четыре стороны равны.

Параллелограмм с равными сторонами — ромб.