2. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения $\left(\frac{3}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}\right)\cdot\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}$ не зависит от $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $25-a^2=-(a-5)(a+5)$, а $a^2-10a+25=(a-5)^2$.

Упростим выражение в скобках:

\[\frac{3}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}= -\frac{3}{(a-5)(a+5)}+\frac{1}{(a-5)^2}=\frac{20-2a}{(a-5)^2(a+5)}.\]

Так как $(5-a)^2=(a-5)^2$, получаем:

\[\frac{20-2a}{(a-5)^2(a+5)}\cdot\frac{(a-5)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}=\frac{10-a+3a}{a+5}=\frac{2(a+5)}{a+5}=2.\]

При указанных значениях $a\ne\pm5$ все преобразования допустимы, и выражение постоянно.

Ответ: значение выражения не зависит от $a$ и равно 2.

2. Докажите, что при всех значениях \(a\ne\pm5\) значение выражения \(\left(\frac{3}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}\right)\cdot\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}\) не зависит от \(a\).