2. Докажите, что ромб является квадратом, если его сторона образует с диагоналями равные углы.

Пусть в ромбе \(ABCD\) сторона \(AB\) образует равные углы с диагоналями \(AC\) и \(BD\).

1. Диагональ ромба делит угол при своей вершине пополам. Поэтому угол между \(AB\) и \(AC\) равен половине угла \(A\), а угол между \(AB\) и \(BD\) — половине угла \(B\).

2. По условию эти углы равны, следовательно, \(\angle A=\angle B\).

3. Соседние углы параллелограмма supplementary: \(\angle A+\angle B=180^\circ\). Равные соседние углы ромба поэтому оба равны \(90^\circ\).

Ромб с прямым углом является прямоугольником; поскольку все его стороны равны, он является квадратом.

Доказано: ромб является квадратом.