3*. На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки L и N так, что треугольник ALN равносторонний. Докажите, что LN ∥ BD.

Введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(C(1,1)\), \(D(0,1)\). Тогда \(L=(1,t)\), \(N=(u,1)\), где \(0\leq t,u\leq1\).

1. Так как треугольник \(ALN\) равносторонний, \(AL=AN\). Из формулы расстояния получаем \(AL^2=1+t^2\) и \(AN^2=u^2+1\), поэтому \(t^2=u^2\).

2. Поскольку \(t,u\geq0\), следует, что \(t=u\).

3. Направляющий вектор \(LN\) равен \((u-1,1-t)=(t-1,1-t)\), а направляющий вектор диагонали \(BD\) равен \((-1,1)\). Векторы параллельны, поскольку \((t-1,1-t)=(1-t)(-1,1)\).

Следовательно, \(LN\parallel BD\).