2) Докажите сформулированные признаки ромба. Дано: ABCD — параллелограмм, AC ⟂ BD. Доказать: ABCD — ромб.

Диагонали параллелограмма ABCD точкой пересечения O делятся пополам. Поэтому BO — медиана треугольника ABC.

По условию BO ⟂ AC, значит, BO — высота треугольника ABC. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой; следовательно, BO — медиана и высота, а треугольник ABC равнобедренный: AB = BC.

По признаку 1 параллелограмм, у которого две соседние стороны равны, является ромбом. Следовательно, ABCD — ромб.