3) Докажите сформулированные признаки ромба. Дано: ABCD — параллелограмм, AC и BD делят углы ∠B и ∠D пополам. Доказать: ABCD — ромб.

Так как ABCD — параллелограмм, противоположные углы равны: ∠ABC = ∠ADC. По условию диагонали делят углы B и D пополам, поэтому ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4. Из равенства углов параллелограмма следует, что их половины равны: ∠1 = ∠4 (а также ∠2 = ∠3).

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них ∠ABD = ∠CDB, ∠ADB = ∠CBD, а сторона BD общая. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AB = CD. В параллелограмме также AB = CD и BC = AD; однако для признака ромба достаточно получить равенство соседних сторон. Из равенства треугольников ABD и CDB следует также AB = BC (соответствующие стороны).

По признаку 1 параллелограмм, у которого две соседние стороны равны, является ромбом. Следовательно, ABCD — ромб.

Примечание: в рассуждении по рисунку ∠1 и ∠2 — половины угла B, а ∠4 и ∠3 — половины угла D. Поскольку углы B и D равны, ∠1 = ∠4 и ∠2 = ∠3.