2) Докажите сформулированный признак ромба. Дано: параллелограмм ABCD, AC ⟂ BD. Доказать: ABCD — ромб.

Дано: параллелограмм ABCD, AC ⟂ BD.

Доказать: ABCD — ромб.

Доказательство. Диагонали параллелограмма точкой пересечения O делятся пополам. Поэтому O — середина AC, а BO — медиана треугольника ABC. По условию BO ⟂ AC, значит, BO также является высотой этого треугольника.

В треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой только в равнобедренном треугольнике. Следовательно, AB = BC. По первому признаку параллелограмма ABCD является ромбом, если его соседние стороны равны.

Ответ: ABCD — ромб.