3) Докажите сформулированный признак ромба. Дано: параллелограмм ABCD, AC и BD делят углы пополам. Доказать: ABCD — ромб.

Дано: параллелограмм ABCD; диагонали AC и BD делят углы пополам.

Доказать: ABCD — ромб.

Доказательство. В параллелограмме противоположные углы равны: ∠ABC = ∠ADC. По условию диагональ BD делит эти углы пополам: ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4. Поэтому из равенства ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4 следует ∠1 = ∠3.

Так как BD делит угол B пополам, ∠ABD = ∠1; так как BD делит угол D пополам, ∠BDA = ∠4. Из ∠1 = ∠3 и ∠3 = ∠4 получаем ∠ABD = ∠BDA. Значит, треугольник ABD равнобедренный и AB = AD.

У параллелограмма равные соседние стороны, поэтому по первому признаку ABCD является ромбом.

Ответ: ABCD — ромб.