2) Докажите теорему о вписанном угле (любой частный случай).

Теорема: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Рассмотрим вписанный угол \(\angle ABC\), опирающийся на дугу \(AC\). Проведём диаметр \(BD\).

1. Центральный угол \(\angle AOD\), опирающийся на дугу \(AD\), в два раза больше вписанного угла \(\angle ABD\): \(\angle AOD=2\angle ABD\).
2. Аналогично, \(\angle DOC=2\angle DBC\).
3. Складывая равенства, получаем: \(\angle AOC=2(\angle ABD+\angle DBC)=2\angle ABC\).
4. Следовательно, \(\angle ABC=\frac12\angle AOC\), то есть вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла и половине дуги, на которую он опирается.

Что и требовалось доказать.