2. Докажите тождество: \(\frac{a+11}{a+9}-\left(\frac{a+5}{a^2-81}+\frac{a+7}{a^2-18a+81}\right):\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2=1\).

Разложим знаменатели на множители:

\[a^2-81=(a-9)(a+9),\qquad a^2-18a+81=(a-9)^2.\]

Сложим дроби в круглых скобках:

\[\frac{a+5}{(a-9)(a+9)}+\frac{a+7}{(a-9)^2}=\frac{(a+5)(a-9)+(a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)}=\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}.\]

Разделим полученное выражение на квадрат дроби:

\[\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}:\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2=\frac{2}{a+9}.\]

Подставим результат в исходное выражение:

\[\frac{a+11}{a+9}-\frac{2}{a+9}=\frac{a+9}{a+9}=1.\]

Тождество доказано при допустимых значениях переменной: \(a\ne -9,9,-3\).