3. Докажите, что значение выражения при всех допустимых значениях переменной не зависит от значения переменной: а) \(\left(\frac{4}{x^3+27}-\frac{x-3}{4x^2-12x+36}\right):\frac{5+x}{x^2-3x+9}-\frac{2}{x+3}\); б) \(\frac{a-5}{6-3a}+\frac{4(a+1)}{a^2+4a}:\left(\frac{9a}{a^2-16}-\frac{a+4}{a^2-4a}\right)\).

а) При чтении выражения по изображению скобки охватывают только разность дробей перед знаком деления; далее стоит вычитание \(\frac{2}{x+3}\). Факторизуем знаменатели, обозначив \(Q=x^2-3x+9\):

\[\left(\frac{4}{(x+3)Q}-\frac{x-3}{4Q}\right):\frac{x+5}{Q}-\frac{2}{x+3}.\]

Разность в первых скобках равна \(\frac{25-x^2}{4Q(x+3)}\). Деление на \(\frac{x+5}{Q}\) даёт:

\[\frac{25-x^2}{4Q(x+3)}\cdot\frac{Q}{x+5}=\frac{5-x}{4(x+3)}.\]

Следовательно, всё выражение упрощается до \(\frac{5-x}{4(x+3)}-\frac{2}{x+3}=\frac{-x-3}{4(x+3)}=-\frac14\). Допустимые значения: \(x\ne -3,-5\).

б) Разложим знаменатели:

\[6-3a=-3(a-2),\quad a^2+4a=a(a+4),\quad a^2-16=(a-4)(a+4),\quad a^2-4a=a(a-4).\]

Выражение в скобках упрощается так:

\[\frac{9a}{(a-4)(a+4)}-\frac{a+4}{a(a-4)}=\frac{9a^2-(a+4)^2}{a(a-4)(a+4)}=\frac{8a^2-8a-16}{a(a-4)(a+4)}=\frac{8(a-2)(a+1)}{a(a-4)(a+4)}.\]

Учитывая деление на эту скобку, получаем:

\[\frac{a-5}{-3(a-2)}+\frac{4(a+1)}{a(a+4)}\cdot\frac{a(a-4)(a+4)}{8(a-2)(a+1)}=-\frac{a-5}{3(a-2)}+\frac{a-4}{2(a-2)}.\]

Приводим к общему знаменателю:

\[\frac{-2(a-5)+3(a-4)}{6(a-2)}=\frac{a-2}{6(a-2)}=\frac16.\]

Допустимые значения исходного выражения: \(a\ne -4,-1,0,2,4\).

Ответ: а) значение постоянно и равно \(-\frac14\); б) значение постоянно и равно \(\frac16\).