2. Две окружности с центрами О₁ и О₂ касаются в точке К (рис. 2). Радиус большей окружности равен 7 см, АВ = 24 см. Найдите радиус меньшей окружности.

Анализ:

На рисунке 2 две окружности касаются внешним образом в точке К. Центры окружностей О₁ и О₂ и точка касания К лежат на одной прямой.

Радиус большей окружности (с центром О₁) равен R = 7 см. Точка А является одним концом диаметра большей окружности, а точка В — одним концом диаметра меньшей окружности.

Расстояние от центра О₁ до точки А равно радиусу большей окружности, то есть О₁А = R = 7 см.

Расстояние АВ = 24 см.

Отрезок АВ состоит из радиуса большей окружности (О₁А), расстояния между центрами (О₁О₂) и радиуса меньшей окружности (О₂В).

Точка К находится между О₁ и О₂. О₁К = R = 7 см. КО₂ = r (радиус меньшей окружности).

О₁О₂ = О₁К + КО₂ = R + r = 7 + r.

Теперь рассмотрим отрезок АВ. Точка К является точкой касания, поэтому она лежит на линии, соединяющей центры.

Длина отрезка АВ = АО₁ + О₁О₂ + О₂В. Это неверно, так как А и В - точки на окружностях.

Правильно: АВ = АО₁ + О₁К + КО₂ + О₂В = 7 + 7 + r + r = 14 + 2r. Это тоже неверно.

Правильный подход:

Отрезок АВ проходит через центры О₁ и О₂. Точка К — точка касания.

Радиус большей окружности R = 7 см. Значит, диаметр большей окружности = 2 * 7 = 14 см.

Так как окружности касаются, точка К лежит на отрезке О₁О₂.

Рассмотрим отрезок АВ. Точка А — крайняя точка большей окружности, точка В — крайняя точка меньшей окружности. Центры О₁ и О₂ лежат на отрезке АВ.

Длина АВ = 24 см.

АВ = АО₁ + О₁О₂ + О₂В. Это неверно, так как А и В — крайние точки, проходящие через центры.

Правильно: АВ = АО₁ + О₁К + КВ. Это тоже неверно.

АВ = АО₁ + O₁O₂ + O₂B - это длина отрезка, проходящего через центры.

Давайте разберемся с рисунком.

Большая окружность имеет радиус R = 7 см. Следовательно, АО₁ = 7 см.

Две окружности касаются в точке К. Значит, точки О₁, К, О₂ лежат на одной прямой.

О₁К = R = 7 см. КО₂ = r (радиус меньшей окружности).

О₁О₂ = О₁К + КО₂ = 7 + r.

Теперь рассмотрим отрезок АВ. Точка А — крайняя точка большей окружности, точка В — крайняя точка меньшей окружности. Отрезок АВ проходит через центры О₁ и О₂.

Следовательно, АВ = АО₁ + О₁О₂ + О₂В.

АО₁ = R = 7 см.

О₂В = r (радиус меньшей окружности).

О₁О₂ = R + r = 7 + r.

Подставляем в уравнение:

24 = 7 + (7 + r) + r

24 = 14 + 2r

2r = 24 - 14

2r = 10

r = 5 см.

Ответ: 5 см