2. Две стороны треугольника, из которых одна длиннее другой на 2, лежат против углов 30° и 45°. Найти длину каждой из сторон.

По теореме синусов стороны, лежащие против углов 30° и 45°, относятся как их синусы. Обозначим их длины соответственно через \(a\) и \(b\). Поскольку сторона напротив 45° длиннее, имеем \(b-a=2\), а также \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\sqrt2\).

Тогда \(b=a\sqrt2\), поэтому \(a(\sqrt2-1)=2\). Отсюда \(a=\dfrac{2}{\sqrt2-1}=2(\sqrt2+1)\), а \(b=a+2=2(\sqrt2+2)\).

Ответ: напротив 30° — \(2(\sqrt2+1)\), напротив 45° — \(2(\sqrt2+2)\).