2. Электродвигатель подъемного крана мощностью 6 кВт поднимает груз массой 6 т на высоту 8 м. Определите время подъема груза, если КПД установки 80%.

Решение:

Дано:

• Мощность двигателя \( P_{полн} = 6 \) кВт = \( 6000 \) Вт.
• Масса груза \( m = 6 \) т = \( 6000 \) кг.
• Высота подъема \( h = 8 \) м.
• КПД установки \( \eta = 80\% = 0.8 \).
• Ускорение свободного падения \( g \approx 10 \) Н/кг.

Найти:

• Время подъема \( t \).

Решение:

1. Найдем полезную мощность \( P_{полн} \), которая идет на подъем груза: \( P_{полн} = \frac{P_{затр}}{\eta} \).
2. Полезная работа \( A_{полн} \) — это работа по подъему груза: \( A_{полн} = m · g · h \).
3. \( A_{полн} = 6000 \) кг \( \cdot 10 \) Н/кг \( \cdot 8 \) м = \( 480000 \) Дж.
4. Затраченная мощность \( P_{затр} \) — это мощность, которую развивает двигатель: \( P_{затр} = \frac{A_{полн}}{\eta · t} \).
5. Из формулы мощности \( P = \frac{A}{t} \) выразим время: \( t = \frac{A_{полн}}{P_{полн}} \).
6. \( t = \frac{480000 \text{ Дж}}{6000 · 0.8 \text{ Вт}} \) (здесь \( P_{полн} \) — полезная мощность, равная \( P_{двиг} · \eta \)).
7. \( P_{полн} = 6000 · 0.8 = 4800 \) Вт.
8. \( t = \frac{480000 \text{ Дж}}{4800 · 0.8 · t} \) - ошибка в рассуждении, вернемся к формулам.
9. Формула КПД: \( \eta = \frac{A_{полн}}{A_{затр}} \).
10. \( A_{затр} = P_{полн} · t \).
11. \( A_{полн} = m · g · h = 6000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 8 \text{ м} = 480000 \) Дж.
12. \( \eta = \frac{A_{полн}}{P_{полн} · t} \).
13. \( t = \frac{A_{полн}}{\eta · P_{полн}} \).
14. \( t = \frac{480000 · 10 \text{ Дж}}{0.8 · 6000 · 10 · 8 · 6000} \) - сложная формулировка.
15. \( P_{полн} = 6 \) кВт = \( 6000 \) Вт.
16. \( A_{полн} = m · g · h = 6000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 8 \text{ м} = 480000 \) Дж.
17. \( \eta = \frac{A_{полн}}{A_{затр}} \), следовательно, \( A_{затр} = \frac{A_{полн}}{\eta} = \frac{480000 · 10}{0.8} = 600000 \) Дж.
18. Время подъема \( t \) находится из формулы мощности: \( P_{полн} = \frac{A_{затр}}{t} \).
19. \( t = \frac{A_{затр}}{P_{полн}} = \frac{600000 · 10}{6000 · 10} \) - повторение.
20. \( t = \frac{A_{затр}}{P_{двигателя}} \).
21. \( t = \frac{600000 · 10}{6000 · 10} \) - ошибка в размерности \( A_{затр} \).
22. \( A_{затр} = \frac{480000}{0.8} = 600000 \) Дж.
23. \( P_{двигателя} = 6 \) кВт = \( 6000 \) Вт.
24. \( t = \frac{A_{затр}}{P_{двигателя}} = \frac{600000 · 10}{6000 · 10} \) - ошибка в \( A_{затр} \).
25. \( A_{затр} = \frac{A_{полн}}{\eta} \)
26. \( A_{полн} = mgh = 6000 · 10 · 8 = 480000 \) Дж.
27. \( A_{затр} = \frac{480000}{0.8} = 600000 \) Дж.
28. \( P_{двигателя} = 6 \) кВт = \( 6000 \) Вт.
29. \( t = \frac{A_{затр}}{P_{двигателя}} = \frac{600000}{6000} = 100 \) с.

Ответ: время подъема груза составит 100 секунд.