2. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб. Доказательство.

Пусть диагональ \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) делит угол \(A\) пополам.

1. Так как \(AD\parallel BC\), то \(\angle DAC=\angle BCA\).
2. По условию \(\angle DAC=\angle CAB\). Следовательно, \(\angle BCA=\angle CAB\), а значит, в треугольнике \(ABC\) равны противолежащие стороны: \(AB=BC\).
3. В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB=CD\), \(BC=AD\). Поэтому все четыре стороны равны.

Следовательно, параллелограмм является ромбом. Достаточно, что одна диагональ делит угол при своей вершине пополам; если это выполняют обе диагонали, условие тем более выполнено.