Диагональ ромба длиной 6 см проведена из вершины угла, равного 120°. Найдите периметр ромба.

Дано: диагональ ромба равна 6 см; один из прилежащих к ней углов — 120°.

Решение. Диагональ ромба, проведённая из вершины угла 120°, делит этот угол пополам. Поэтому угол между диагональю и стороной равен \(120°:2=60°\).

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю и двумя сторонами ромба. Угол при вершине равен 120°, а два остальных угла — по 30°. По теореме синусов сторона ромба \(a\) связана с диагональю \(d=6\) см так:

\(\dfrac{a}{\sin 30°}=\dfrac{6}{\sin 120°}\), поэтому \(a=6\cdot\dfrac{\sin 30°}{\sin 120°}=6\cdot\dfrac{1/2}{\sqrt3/2}=2\sqrt3\) см.

Периметр ромба: \(P=4a=4\cdot2\sqrt3=8\sqrt3\) см.

Ответ: \(8\sqrt3\) см.