2) \(\frac{1}{x} = x+1\)

Решение:

1. Запишем уравнение: \( \frac{1}{x} = x+1 \).
2. Умножим обе части уравнения на \( x \) (при условии \( x \neq 0 \)): \( 1 = x(x+1) \).
3. Раскроем скобки: \( 1 = x^2 + x \).
4. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 + x - 1 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( a = 1, b = 1, c = -1 \).
6. \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \).
7. Найдем \( x \): \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \).
8. \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \).
9. Оба корня \( x_1 \) и \( x_2 \) не равны нулю, поэтому подходят.

Ответ: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \).