Диагональ прямоугольника равна 15см, а его периметр равен 34см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).

Дано:

• Диагональ \( d = 15 \) см.
• Периметр \( P = 34 \) см.

Найти:

• Стороны \( a \) и \( b \).

Решение:

1. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \( P = 2(a+b) \). Подставим известные значения: \( 34 = 2(a+b) \).
2. Разделим обе части на 2: \( a+b = 17 \).
3. Диагональ прямоугольника связана со сторонами теоремой Пифагора: \( d^2 = a^2 + b^2 \). Подставим известные значения: \( 15^2 = a^2 + b^2 \), то есть \( a^2 + b^2 = 225 \).
4. Теперь у нас есть система уравнений:
• \( a+b = 17 \)
• \( a^2 + b^2 = 225 \)
5. Из первого уравнения выразим \( b \) через \( a \): \( b = 17-a \).
6. Подставим это выражение во второе уравнение: \( a^2 + (17-a)^2 = 225 \).
7. Раскроем скобки: \( a^2 + (289 - 34a + a^2) = 225 \).
8. Приведём подобные слагаемые: \( 2a^2 - 34a + 289 - 225 = 0 \).
9. Упростим: \( 2a^2 - 34a + 64 = 0 \).
10. Разделим всё уравнение на 2: \( a^2 - 17a + 32 = 0 \).
11. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 289 - 128 = 161 \).
12. Так как дискриминант \( D=161 \) не является полным квадратом, то стороны прямоугольника будут иррациональными числами.
13. \( a_1 = \frac{17 + \sqrt{161}}{2} \)
14. \( a_2 = \frac{17 - \sqrt{161}}{2} \)
15. Если \( a = \frac{17 + \sqrt{161}}{2} \), то \( b = 17 - \frac{17 + \sqrt{161}}{2} = \frac{34 - 17 - \sqrt{161}}{2} = \frac{17 - \sqrt{161}}{2} \).
16. Если \( a = \frac{17 - \sqrt{161}}{2} \), то \( b = 17 - \frac{17 - \sqrt{161}}{2} = \frac{34 - 17 + \sqrt{161}}{2} = \frac{17 + \sqrt{161}}{2} \).

Ответ: Стороны прямоугольника равны \(\frac{17 + \sqrt{161}}{2}\) см и \(\frac{17 - \sqrt{161}}{2}\) см.