2) \(\frac{2x}{x^2-y^2} : \frac{1}{x^2+2xy+y^2}\)

Решение:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

\[ \frac{2x}{x^2-y^2} : \frac{1}{x^2+2xy+y^2} = \frac{2x}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2+2xy+y^2}{1} \]

Разложим знаменатель первой дроби на множители (разность квадратов):

\[ x^2-y^2 = (x-y)(x+y) \]

Разложим числитель второй дроби на множители (полный квадрат):

\[ x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2 \]

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

\[ \frac{2x}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x+y)^2}{1} \]

Сократим общие множители (x+y):

\[ \frac{2x}{(x-y)\cancel{(x+y)}} \cdot \frac{(x+y)\cancel{(x+y)}}{1} = \frac{2x}{x-y} \cdot (x+y) \]

Перемножим оставшиеся множители:

\[ \frac{2x(x+y)}{x-y} = \frac{2x^2+2xy}{x-y} \]

Ответ: \( \frac{2x^2+2xy}{x-y} \)