3) \(\frac{2a-3}{a^2-4a+4} : \frac{a-1}{a^2-2a} : \frac{a^2-2}{a^3-4a}\)

Решение:

Запишем все деления как умножение на обратную дробь:

\[ \frac{2a-3}{a^2-4a+4} : \frac{a-1}{a^2-2a} : \frac{a^2-2}{a^3-4a} = \frac{2a-3}{a^2-4a+4} \cdot \frac{a^2-2a}{a-1} \cdot \frac{a^3-4a}{a^2-2} \]

Разложим все многочлены на множители:

1. Знаменатель первой дроби (полный квадрат):

\[ a^2-4a+4 = (a-2)^2 \]

2. Числитель второй дроби (вынесем общий множитель a):

\[ a^2-2a = a(a-2) \]

3. Числитель третьей дроби (вынесем общий множитель a, затем разность квадратов):

\[ a^3-4a = a(a^2-4) = a(a-2)(a+2) \]

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

\[ \frac{2a-3}{(a-2)^2} \cdot \frac{a(a-2)}{a-1} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2-2} \]

Сократим общие множители (a-2):

\[ \frac{2a-3}{(a-2)\cancel{(a-2)}} \cdot \frac{a\cancel{(a-2)}}{a-1} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2-2} \]

Получаем:

\[ \frac{2a-3}{1} \cdot \frac{a}{a-1} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2-2} \]

Перемножим оставшиеся множители:

\[ \frac{(2a-3) \cdot a \cdot a(a-2)(a+2)}{(a-1)(a^2-2)} \]

Упростим числитель:

\[ \frac{a^2(2a-3)(a-2)(a+2)}{(a-1)(a^2-2)} \]

Ответ: \( \frac{a^2(2a-3)(a-2)(a+2)}{(a-1)(a^2-2)} \)