2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а синус одного из острых углов равен 0,6. Найдите катеты этого треугольника.

Задание 2. Нахождение катетов прямоугольного треугольника

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Гипотенуза: \( c = 25 \) см.
• Синус одного из острых углов: \( \sin(\alpha) = 0.6 \).

Найти: катеты \( a \) и \( b \).

Решение:

1. Пусть \( \alpha \) — тот острый угол, синус которого равен 0.6. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: \[ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} \] где \( a \) — противолежащий катет.
2. Выразим катет \( a \): \[ a = c \cdot \sin(\alpha) \]
3. Подставим известные значения: \[ a = 25 \text{ см} \cdot 0.6 = 15 \] см.
4. Теперь нам нужно найти второй катет \( b \). Мы можем использовать теорему Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
5. Подставим найденное значение \( a \) и данное значение \( c \): \[ 15^2 + b^2 = 25^2 \]
6. Вычислим квадраты: \[ 225 + b^2 = 625 \]
7. Выразим \( b^2 \): \[ b^2 = 625 - 225 = 400 \]
8. Извлечём квадратный корень: \[ b = \sqrt{400} = 20 \] см.
9. Альтернативный способ найти катет \( b \):
• Сначала найдём косинус угла \( \alpha \). Так как \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), то \[ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 \]
• Извлечём квадратный корень: \[ \cos(\alpha) = \sqrt{0.64} = 0.8 \] (так как \( \alpha \) — острый угол, косинус положителен).
• По определению косинуса: \[ \cos(\alpha) = \frac{b}{c} \], где \( b \) — прилежащий катет.
• Выразим катет \( b \): \[ b = c \cdot \cos(\alpha) = 25 \text{ см} \cdot 0.8 = 20 \] см.

Ответ: катеты треугольника равны 15 см и 20 см.