3. В треугольнике АВС с прямым углом С высота СН, проведенная к гипотенузе равна 5V3 см, а отрезок АН равен 15 см. Найдите острые углы прямоугольного треугольника.

Задание 3. Острые углы прямоугольного треугольника

Дано:

• Прямоугольный треугольник \( ABC \), \( \angle C = 90^\circ \).
• Высота \( CH \) к гипотенузе \( AB \).
• \( CH = 5\sqrt{3} \) см.
• \( AH = 15 \) см.

Найти: острые углы \( \angle A \) и \( \angle B \).

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ACH \). В нём \( \angle AHC = 90^\circ \).
2. Мы знаем катет \( CH \) и катет \( AH \). Можем найти тангенс угла \( A \):
• \( \tan(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{AH} \)
• Подставим значения: \[ \tan(\angle A) = \frac{5\sqrt{3}}{15} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
3. Из таблицы основных тригонометрических значений мы знаем, что тангенс \( 30^\circ \) равен \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).
4. Значит, \( \angle A = 30^\circ \).
5. Так как \( \triangle ABC \) — прямоугольный, сумма его острых углов равна \( 90^\circ \).
6. \( \angle B = 90^\circ - \angle A \)
7. \( \angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Ответ: Острые углы прямоугольного треугольника равны 30° и 60°.