2. Хорды окружности АВ и СР пересекаются в точке Е. Найти длину отрезка РЕ и СЕ, если СР = 12 см, АЕ=7 см, ЕВ = 4 см.

Решение:

При пересечении хорд в окружности выполняется свойство: произведение отрезков каждой хорды равны между собой.

• Для хорды АВ: AE ⋅ EB = PE ⋅ CE
• Мы знаем, что AE = 7 см и EB = 4 см.
• Произведение отрезков хорды АВ: 7 см ⋅ 4 см = 28 см²
• Следовательно, PE ⋅ CE = 28 см²
• Также нам известно, что длина хорды СР равна 12 см, то есть PE + CE = 12 см.
• Теперь у нас есть система уравнений:
  • PE ⋅ CE = 28
  • PE + CE = 12
• Из второго уравнения выразим CE: CE = 12 - PE
• Подставим это в первое уравнение: PE ⋅ (12 - PE) = 28
• 12 ⋅ PE - PE² = 28
• PE² - 12 ⋅ PE + 28 = 0
• Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = (-12)² - 4 ⋅ 1 ⋅ 28 = 144 - 112 = 32.
• Корни уравнения: PE = (12 ± √32) / 2 = (12 ± 4√2) / 2 = 6 ± 2√2.
• Таким образом, возможны два варианта для длин отрезков:
  • Вариант 1: PE = 6 + 2√2 см, CE = 12 - (6 + 2√2) = 6 - 2√2 см.
  • Вариант 2: PE = 6 - 2√2 см, CE = 12 - (6 - 2√2) = 6 + 2√2 см.

Ответ: Отрезки РЕ и СЕ равны 6 + 2√2 см и 6 - 2√2 см (в любом порядке).