3. Хорды окружности МК и СД пересекаются в точке А. Найти длину отрезка ДО и ОС, если МА = 6 см, АК=15 см, СА : АД = 2 : 5.

Решение:

1. Из условия задачи следует, что точка А является точкой пересечения хорд, но хорды МК и СД пересекаются в точке А. Это значит, что А является одной из точек на хордах, а не точкой их пересечения. Предположим, что точка А находится вне окружности, и из нее проведены секущие, что противоречит условию.
2. Если точка А является точкой пересечения хорд МК и СД, то А должна быть внутри окружности. В таком случае, условия МА = 6 см и АК = 15 см означают, что хорда МК имеет длину 6 + 15 = 21 см.
3. Точно так же, если хорды пересекаются в точке А, то СА и АД являются отрезками другой хорды.
4. По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. Если А — точка пересечения, то \( MA \cdot AK = CA \cdot AD \).
5. Подставляем известные значения: \( 6 \cdot 15 = CA \cdot AD \), то есть \( 90 = CA \cdot AD \).
6. Из условия \( CA : AD = 2 : 5 \) следует, что \( CA = 2x \) и \( AD = 5x \).
7. Подставляем в уравнение: \( (2x) \cdot (5x) = 90 \) \( 10x^2 = 90 \) \( x^2 = 9 \) \( x = 3 \) (так как длина отрезка положительна).
8. Тогда \( CA = 2x = 2 \cdot 3 = 6 \) см.
9. И \( AD = 5x = 5 \) \( \cdot 3 = 15 \) см.
10. Длина хорды СД = СА + АД = 6 + 15 = 21 см.

Ответ: СА = 6 см, АД = 15 см.