2. In the right triangle ABC, CD is the altitude to the hypotenuse. Given: AD = 4, ∠B = 30°. Find x.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ - прямоугольный} \]
• \[ CD \perp AB \]
• \[ AD = 4 \]
• \[ \angle B = 30^{\circ} \]
• \[ CD = x \]

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике BCD:
• \[ \text{tg}(\angle B) = \frac{CD}{BD} \]
• \[ \text{tg}(30^{\circ}) = \frac{x}{BD} \]
• \[ BD = \frac{x}{\text{tg}(30^{\circ})} = \frac{x}{1/\sqrt{3}} = x\sqrt{3} \]
2. В прямоугольном треугольнике ADC:
• \[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]
• \[ AC^2 = 4^2 + x^2 = 16 + x^2 \]
3. В прямоугольном треугольнике ABC:
• \[ AC^2 = AB^2 - BC^2 \]
• \[ AB = AD + BD = 4 + x\sqrt{3} \]
• \[ BC^2 = BD^2 + CD^2 = (x\sqrt{3})^2 + x^2 = 3x^2 + x^2 = 4x^2 \]
• \[ AC^2 = (4 + x\sqrt{3})^2 - 4x^2 \]
• \[ AC^2 = 16 + 8x\sqrt{3} + 3x^2 - 4x^2 = 16 + 8x\sqrt{3} - x^2 \]
4. Приравниваем два выражения для $$AC^2$$:
• \[ 16 + x^2 = 16 + 8x\sqrt{3} - x^2 \]
• \[ 2x^2 = 8x\sqrt{3} \]
• \[ 2x^2 - 8x\sqrt{3} = 0 \]
• \[ 2x(x - 4\sqrt{3}) = 0 \]
• Так как $$x \neq 0$$ (это длина), то $$x = 4\sqrt{3}$$.

Ответ: $$4\sqrt{3}$$