№ 2. Используя данные рисунка: а) докажите, что ∠ABD = ∠CBD; б) найдите QS. На рисунке к пункту а) BD ⟂ AC и AD=DC; к пункту б) PQ=RS, ∠QPS=∠PSR, PR=12 см.

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABD\) и \(CBD\). По рисунку \(AD=DC\), сторона \(BD\) общая, а \(\angle ADB=\angle CDB=90^\circ\). Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Соответственные углы равны, поэтому \(\angle ABD=\angle CBD\).

б) По рисунку \(PQ=RS\), \(PS\) — общая сторона, а \(\angle QPS=\angle PSR\). Следовательно, \(\triangle QPS=\triangle RSP\) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда соответствующие стороны \(QS=PR\). Так как \(PR=12\) см, то \(QS=12\) см.

Ответ: а) \(\angle ABD=\angle CBD\); б) \(QS=12\) см.