2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если они относятся как 1:2 и проекции наклонных равны 1 см и 7 см.

1. Большей проекции 7 см соответствует более длинная наклонная. Обозначим длины наклонных через \(x\) и \(2x\), а длину общего перпендикуляра — через \(h\).
2. По теореме Пифагора: \(x^2=h^2+1^2\), \((2x)^2=h^2+7^2\).
3. Вычитаем первое равенство из второго: \(4x^2-x^2=49-1\), значит \(3x^2=48\), откуда \(x=4\).
4. Тогда вторая наклонная равна \(2x=8\). Проверка: \(h^2=4^2-1=15\), и \(\sqrt{15+7^2}=8\).

Ответ: 4 см и 8 см.