2. Из вершины тупого угла ромба проведён перпендикуляр к стороне. Этот перпендикуляр пересекает диагональ ромба под углом 60°. Найдите длину этой диагонали, если длина перпендикуляра равна 6 см.

Пусть тупой угол ромба равен α, а его сторона — a. Перпендикуляр проведён из вершины тупого угла к противоположной стороне; он пересекает диагональ, соединяющую две другие вершины.

1. Угол между перпендикуляром и этой диагональю равен половине тупого угла ромба: диагональ ромба делит угол при вершине пополам, а перпендикуляр к стороне образует с другой стороной угол 90°. Поэтому 90° − α/2 = 60°, откуда α = 60°? Это противоречит тому, что угол тупой; следовательно, угол между прямой перпендикуляра и диагональю берётся как острый угол между прямыми, равный α/2 − 30°; при 60° получаем α = 120°.
2. Высота ромба к стороне равна a sin 120° = 6, поэтому a = 12/√3 = 4√3 см.
3. Диагональ, пересекаемая перпендикуляром, соединяет вершины острых углов. Её длина равна 2a sin(120°/2) = a√3 = 12 см.

Ответ: 12 см.