2. К окружности с центром О провели касательную AB (B — точка касания). Найдите радиус окружности, если AB = 8 см и ∠AOB = 45°.

2. Нахождение радиуса окружности:

Дано:

• Окружность с центром O.
• AB — касательная к окружности в точке B.
• AB = 8 см.
• ∠AOB = 45°.

Решение:

1. Свойство касательной: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠OBA = 90°.
2. Рассмотрим треугольник OBA: Это прямоугольный треугольник с прямым углом ∠OBA.
3. Сумма углов в треугольнике: В треугольнике OBA: ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°.
4. Подставляем известные значения: ∠OAB + 90° + 45° = 180°.
5. Находим ∠OAB: ∠OAB = 180° - 90° - 45° = 45°.
6. Сделаем вывод о треугольнике OBA: Так как ∠OAB = ∠AOB = 45°, то треугольник OBA является равнобедренным.
7. Равные стороны: В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Значит, OA = OB.
8. OB — радиус: OB является радиусом окружности.
9. AB = 8 см: По условию задачи, AB = 8 см.
10. Соотношение сторон: В прямоугольном треугольнике OBA, по теореме Пифагора: OA² = OB² + AB².
11. Учитываем, что OA = OB: OB² = OB² + 8². Это уравнение не имеет смысла, потому что мы уже установили, что треугольник равнобедренный и OB = AB, а не OA. Переосмыслим.
12. Равнобедренный треугольник OBA: Так как ∠OAB = ∠AOB = 45°, то стороны, лежащие против этих углов, равны: OB = AB.
13. Радиус равен стороне касательной: Поскольку AB = 8 см, то и радиус OB = 8 см.

Ответ: 8 см