3. Через концы диаметра AB окружности с центром О проведены параллельные хорды BC и AD (рис. 272). Докажите, что AD = BC.

3. Доказательство равенства хорд AD и BC:

Дано:

• Окружность с центром O.
• AB — диаметр.
• BC || AD.

Доказать: AD = BC.

Доказательство:

1. Рассмотрим дуги: Так как хорды BC и AD параллельны (BC || AD), то дуги, заключенные между этими параллельными хордами, равны. То есть, дуга AC = дуга BD.
2. Радиусы и углы:
• Радиус OA = OB = OC = OD, так как все они — радиусы окружности.
• Угол ∠AOC соответствует дуге AC, а угол ∠BOD соответствует дуге BD.
• Так как дуга AC = дуга BD, то и центральные углы, соответствующие этим дугам, равны: ∠AOC = ∠BOD.
3. Рассмотрим треугольники:
• Треугольник OAD: OA = OD (радиусы), значит, треугольник OAD — равнобедренный.
• Треугольник OBC: OB = OC (радиусы), значит, треугольник OBC — равнобедренный.
4. Рассмотрим углы:
• Угол ∠AOD: Угол ∠AOD является развернутым углом, так как AB — диаметр. ∠AOD = 180°.
• Угол ∠BOC:
• Рассмотрим угол ∠AOC.
• Угол ∠AOB — развернутый (180°).
• ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB (если C лежит на прямой AB, но C - точка на окружности).
• Однако, лучше использовать свойство параллельных хорд.
• Возвращаемся к параллельности хорд: BC || AD.
• Рассмотрим секущую AB: Угол ∠DAB и угол ∠CBA являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых AD и BC и секущей AB. Следовательно, ∠DAB = ∠CBA.
• Рассмотрим секущую AC: Угол ∠DAC и угол ∠BCA являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Следовательно, ∠DAC = ∠BCA.
• Рассмотрим секущую BD: Угол ∠ADB и угол ∠CBD являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, ∠ADB = ∠CBD.
5. Связь углов с хордами:
• Равные вписанные углы опираются на равные дуги.
• Так как ∠ADB = ∠CBD, то дуга AB, на которую опирается ∠ADB, равна дуге CD, на которую опирается ∠CBD. Это не совсем верно.
• Правильное рассуждение:
• Дуги AC и BD: Мы уже установили, что дуга AC = дуга BD.
• Дуга BC: Рассмотрим дугу AB. Это половина окружности.
• Дуга AB = Дуга AC + Дуга CB.
• Дуга AB = Дуга AD + Дуга DB.
• Так как дуга AC = дуга BD, то из равенств выше следует, что дуга CB = дуга AD.
• Равные дуги = равные хорды: Хорды, стягивающие равные дуги, равны.
• Следовательно, хорда AD = хорда BC.

Доказано.