2. Какая из точек будет расположена внутри треугольника, образованного прямыми х = 5, y = 3 и у = - x + 3?

Решение:

Треугольник образован прямыми \( x = 5 \), \( y = 3 \) и \( y = -x + 3 \). Найдем вершины треугольника:

1. Пересечение \( x = 5 \) и \( y = 3 \): Точка А \( (5; 3) \).
2. Пересечение \( x = 5 \) и \( y = -x + 3 \): \( y = -5 + 3 = -2 \). Точка В \( (5; -2) \).
3. Пересечение \( y = 3 \) и \( y = -x + 3 \): \( 3 = -x + 3 \) => \( x = 0 \). Точка С \( (0; 3) \).

Теперь проверим каждую из предложенных точек:

• 1) \( (1; 1) \): \( 1 < 5 \), \( 1 < 3 \). Подставим в \( y = -x + 3 \): \( 1 = -1 + 3 \) => \( 1 = 2 \) (неверно). Эта точка находится ниже прямой \( y = -x + 3 \).
• 2) \( (-2; 2) \): \( -2 < 5 \), \( 2 < 3 \). Подставим в \( y = -x + 3 \): \( 2 = -(-2) + 3 \) => \( 2 = 2 + 3 \) => \( 2 = 5 \) (неверно). Эта точка находится ниже прямой \( y = -x + 3 \).
• 3) \( (2; 2) \): \( 2 < 5 \), \( 2 < 3 \). Подставим в \( y = -x + 3 \): \( 2 = -2 + 3 \) => \( 2 = 1 \) (неверно). Эта точка находится выше прямой \( y = -x + 3 \).
• 4) \( (0; 0) \): \( 0 < 5 \), \( 0 < 3 \). Подставим в \( y = -x + 3 \): \( 0 = -0 + 3 \) => \( 0 = 3 \) (неверно). Эта точка находится ниже прямой \( y = -x + 3 \).
• 5) \( (-3; 3) \): \( -3 < 5 \), \( 3 = 3 \). Подставим в \( y = -x + 3 \): \( 3 = -(-3) + 3 \) => \( 3 = 3 + 3 \) => \( 3 = 6 \) (неверно). Эта точка находится на прямой \( y = 3 \).

Для того чтобы точка была внутри треугольника, она должна удовлетворять условиям:

• \( x < 5 \)
• \( y < 3 \)
• \( y > -x + 3 \)

Проверим точки ещё раз с этими условиями:

• 1) \( (1; 1) \): \( 1 < 5 \), \( 1 < 3 \), \( 1 > -1 + 3 \) => \( 1 > 2 \) (неверно).
• 2) \( (-2; 2) \): \( -2 < 5 \), \( 2 < 3 \), \( 2 > -(-2) + 3 \) => \( 2 > 5 \) (неверно).
• 3) \( (2; 2) \): \( 2 < 5 \), \( 2 < 3 \), \( 2 > -2 + 3 \) => \( 2 > 1 \) (верно).
• 4) \( (0; 0) \): \( 0 < 5 \), \( 0 < 3 \), \( 0 > -0 + 3 \) => \( 0 > 3 \) (неверно).
• 5) \( (-3; 3) \): \( -3 < 5 \), \( 3 \not< 3 \).

Ответ: 3) (2; 2).