2) Какое из чисел а, записанных в двоичной системе, удовлетворяет условию 78₁₆ < a < 172₁₆?

Решение:

Сначала переведём границы интервала из шестнадцатеричной системы в десятичную:

\( 78_{16} = 7 \times 16^1 + 8 \times 16^0 = 112 + 8 = 120_{10} \)

\( 172_{16} = 1 \times 16^2 + 7 \times 16^1 + 2 \times 16^0 = 256 + 112 + 2 = 370_{10} \)

Теперь переведём предложенные двоичные числа в десятичную систему:

1) \( 1111011_2 = 1 \times 2^6 + 1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 123_{10} \)

2) \( 1001001_2 = 1 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 73_{10} \)

3) \( 1111000_2 = 1 \times 2^6 + 1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 0 = 120_{10} \)

4) \( 1111001_2 = 1 \times 2^6 + 1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 121_{10} \)

Проверим, какое из полученных десятичных чисел удовлетворяет условию \( 120_{10} < a < 370_{10} \):

1) \( 123_{10} \) — удовлетворяет.

2) \( 73_{10} \) — не удовлетворяет.

3) \( 120_{10} \) — не удовлетворяет (строгое неравенство).

4) \( 121_{10} \) — удовлетворяет.

Условию удовлетворяют числа 1) и 4). Однако, в задании просят выбрать одно число. Вероятно, подразумевается, что границы интервала не включены, но варианты ответов включают одно из граничных значений. Пересмотрим условие: \( 78_{16} < a < 172_{16} \). Оба числа, 120 и 121, находятся в этом интервале, но 120 является границей. Если граница включена, то 120 может быть ответом. Однако, обычно интервал означает числа строго между границами. Вариант 1 (123) и Вариант 4 (121) оба находятся внутри интервала.

Переведём обратно в двоичную систему: \( 78_{16} = 01111000_2 \), \( 172_{16} = 1111010010_2 \). Варианты в двоичной системе:

1) \( 1111011_2 \) — в десятичной 123. \( 01111000_2 < 1111011_2 < 1111010010_2 \) — верно.

2) \( 1001001_2 \) — в десятичной 73. Неверно.

3) \( 1111000_2 \) — в десятичной 120. Это \( 78_{16} \), не строго больше.

4) \( 1111001_2 \) — в десятичной 121. \( 01111000_2 < 1111001_2 < 1111010010_2 \) — верно.

Условию удовлетворяют варианты 1 и 4. Если нужно выбрать один, то будем исходить из того, что число должно быть БОЛЬШЕ, чем 78₁₆. И 123, и 121 больше 120. Оба варианта подходят.

Давайте проверим более внимательно границы:

\( 78_{16} = 1111000_2 \)

\( 172_{16} = 1111010010_2 \)

Значит, нам нужно число \( a \) такое, что \( 1111000_2 < a < 1111010010_2 \).

1) \( 1111011_2 \) — больше \( 1111000_2 \) и меньше \( 1111010010_2 \). Подходит.

2) \( 1001001_2 \) — меньше \( 1111000_2 \). Не подходит.

3) \( 1111000_2 \) — равно \( 78_{16} \). Не подходит (строгое неравенство).

4) \( 1111001_2 \) — больше \( 1111000_2 \) и меньше \( 1111010010_2 \). Подходит.

Поскольку оба варианта 1 и 4 подходят, и задание предлагает выбрать один, скорее всего, есть ошибка в задании или вариантах. Однако, если смотреть на число 1111000, то оно является границей. 1111001 является следующим за ним числом. 1111011 идет еще дальше.

Если предположить, что \( 78_{16} \) должно быть переведено как \( 01111000_2 \) (с учетом возможной старшей единицы для двоичного представления), то \( 1111000_2 \) не попадает в интервал.

Примем, что \( 78_{16} = 1111000_2 \). Тогда \( 1111001_2 \) и \( 1111011_2 \) подходят.

Если рассмотреть вариант 3 \( 1111000_2 \) как \( 78_{16} \) то он не подходит. Вариант 4 \( 1111001_2 \) больше \( 78_{16} \) и меньше \( 172_{16} \). Вариант 1 \( 1111011_2 \) также больше \( 78_{16} \) и меньше \( 172_{16} \).

Учитывая, что часто в таких заданиях подразумевается найти ближайшее подходящее число, а 1111001 идет сразу после 1111000, выберем его.

Ответ: 4