2. Катет АВ прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) лежит в плоскости а. Найдите расстояние от точки С до плоскости а, если АС = 17, АВ = 15, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью а равен 45°.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, по теореме Пифагора, найдём длину катета BC: \( BC^2 = AC^2 - AB^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \).
2. Тогда \( BC = \sqrt{64} = 8 \) см.
3. Расстояние от точки C до плоскости \( \alpha \) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки C на плоскость \( \alpha \). Обозначим её \( h \).
4. Так как катет AB лежит в плоскости \( \alpha \), а BC перпендикулярен AB (угол B = 90°), то BC перпендикулярен плоскости \( \alpha \) только в том случае, если BC также лежит в плоскости \( \alpha \). Но по условию задачи угол между плоскостью треугольника и плоскостью \( \alpha \) равен 45°, значит, BC не перпендикулярен \( \alpha \).
5. Пусть CD — перпендикуляр из C на плоскость \( \alpha \), \( CD = h \).
6. Угол между плоскостью треугольника ABC и плоскостью \( \alpha \) равен 45°. Поскольку AB лежит в плоскости \( \alpha \), то проекцией BC на плоскость \( \alpha \) является отрезок BD. Угол CBD равен 45°.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDB. В нём \( \angle CDB = 90^{\circ} \).
8. Мы знаем, что \( BC = 8 \) см.
9. В прямоугольном треугольнике CDB: \( CD = BC \cdot \sin(\angle CBD) \).
10. \( h = 8 \cdot \sin(45^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.

Ответ: \( 4\sqrt{2} \) см.