2. KMP — параллелограмм. Выразите через векторы $\vec m=\overrightarrow{KM}$ и $\vec n=\overrightarrow{KP}$ векторы $\overrightarrow{MA}$ и $\overrightarrow{AB}$, где $A$ — точка на отрезке $PN$ такая, что $PA:AN=2:1$, $B$ — середина отрезка $MN$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. KMP — параллелограмм. Выразите через векторы $\vec m=\overrightarrow{KM}$ и $\vec n=\overrightarrow{KP}$ векторы…$ Фото задания

2. KMP — параллелограмм. Выразите через векторы $\vec m=\overrightarrow{KM}$ и $\vec n=\overrightarrow{KP}$ векторы $\overrightarrow{MA}$ и $\overrightarrow{AB}$, где $A$ — точка на отрезке $PN$ такая, что $PA:AN=2:1$, $B$ — середина отрезка $MN$.

Accepted Answer

Положим начало в точке $K$. Тогда радиус-векторы вершин параллелограмма равны: $\overrightarrow{KM}=\vec m$, $\overrightarrow{KP}=\vec n$, а $\overrightarrow{KN}=\vec m+\vec n$.

Точка $A$ делит $PN$ в отношении $PA:AN=2:1$, поэтому $\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{KP}+\frac{2}{3}\overrightarrow{PN}=\vec n+\frac{2}{3}\vec m$.

Следовательно, $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KM}=\vec n-\frac{1}{3}\vec m$.

Поскольку $B$ — середина $MN$, $\overrightarrow{KB}=\frac{\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN}}{2}=\vec m+\frac{1}{2}\vec n$. Тогда $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KA}=\frac{1}{3}\vec m-\frac{1}{2}\vec n$.

Ответ: $\overrightarrow{MA}=\vec n-\frac{1}{3}\vec m$, $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\vec m-\frac{1}{2}\vec n$.