2. KNP — параллелограмм. Выразите через векторы $\vec m=\overrightarrow{KM}$ и $\vec n=\overrightarrow{KP}$ векторы $\overrightarrow{MA}$ и $\overrightarrow{AB}$, где $A$ — точка на отрезке $PN$ такая, что $PA:AN=2:1$, $B$ — середина отрезка $MN$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. KNP — параллелограмм. Выразите через векторы $\vec m=\overrightarrow{KM}$ и $\vec n=\overrightarrow{KP}$ векторы…$ Фото задания

2. KNP — параллелограмм. Выразите через векторы $\vec m=\overrightarrow{KM}$ и $\vec n=\overrightarrow{KP}$ векторы $\overrightarrow{MA}$ и $\overrightarrow{AB}$, где $A$ — точка на отрезке $PN$ такая, что $PA:AN=2:1$, $B$ — середина отрезка $MN$.

Accepted Answer

Обозначим начало координат точкой $K$. В параллелограмме $KNP$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{KM}=\vec n+\vec m$.

Так как $PA:AN=2:1$, точка $A$ делит отрезок $PN$ в отношении 2 к 1 от точки $P$. Следовательно, $\overrightarrow{PA}=\frac23\overrightarrow{PN}$, а $\overrightarrow{PN}=\vec m$. Тогда $\overrightarrow{KA}=\vec n+\frac23\vec m$.

Вычитая радиус-векторы точек, получаем:

$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KM}=\vec n+\frac23\vec m-\vec m=\vec n-\frac13\vec m.$

Точка $B$ — середина $MN$, поэтому $\overrightarrow{KB}=\frac12(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN})=\frac12(\vec m+\vec n+\vec m)=\vec m+\frac12\vec n$.

Отсюда:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KA}=\vec m+\frac12\vec n-\vec n-\frac23\vec m=\frac13\vec m-\frac12\vec n.$

Ответ: $\overrightarrow{MA}=\vec n-\frac13\vec m$, $\overrightarrow{AB}=\frac13\vec m-\frac12\vec n$.