№2. Кондитеры Анна, Борис и Вера готовят партию капкейков для школьного фестиваля. Анна и Борис вместе справляются с заказом за 2 часа, Борис и Вера вместе делают его за 3 часа, Анна и Вера вместе делают его за 4 часа. За сколько часов кондитеры выполнят заказ, если будут работать втроём одновременно? Кто из кондитеров самый быстрый, а кто — самый медленный? За сколько часов каждый из них выполнил бы заказ в одиночку?

Пусть весь заказ — одна работа. Тогда производительности пар кондитеров составляют: Анна и Борис — \(\frac{1}{2}\), Борис и Вера — \(\frac{1}{3}\), Анна и Вера — \(\frac{1}{4}\) заказа в час.

Сложим производительности пар: \(2(А+Б+В)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}\). Следовательно, производительность всех троих равна \(\frac{13}{24}\) заказа в час, а весь заказ они выполнят за \(1:\frac{13}{24}=\frac{24}{13}\) часа.

Найдём индивидуальные производительности:

• Анна: \(А=\frac{(А+Б)+(А+В)-(Б+В)}{2}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}{2}=\frac{5}{24}\) заказа в час. Одна она выполнит заказ за \(\frac{24}{5}\) часа.
• Борис: \(Б=\frac{(А+Б)+(Б+В)-(А+В)}{2}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}{2}=\frac{7}{24}\) заказа в час. Один он выполнит заказ за \(\frac{24}{7}\) часа.
• Вера: \(В=\frac{(Б+В)+(А+В)-(А+Б)}{2}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{24}\) заказа в час. Одна она выполнит заказ за 24 часа.

Чем больше производительность, тем меньше времени требуется на заказ. Поэтому быстрее всех работает Борис, медленнее всех — Вера.

Ответ: втроём — \(\frac{24}{13}\) часа; в одиночку Анна — \(\frac{24}{5}\) часа, Борис — \(\frac{24}{7}\) часа, Вера — 24 часа. Самый быстрый — Борис, самая медленная — Вера.