2. $\log_2(2^x-2)=3-x$. Найти область допустимых значений, решить уравнение и проверить корни.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. $\log_2(2^x-2)=3-x$. Найти область допустимых значений, решить уравнение и проверить корни.$ Фото задания

Accepted Answer

Для существования логарифма требуется $2^x-2>0$. Поскольку функция $2^x$ возрастает, получаем $x>1$. Также используем формулу $\log_a b=c\iff a^c=b$.

$\log_2(2^x-2)=3-x\iff 2^x-2=2^{3-x}$.

Введём обозначение $2^x=y$, где $y>0$. Из ОДЗ следует $y>2$, а $2^{3-x}=\frac{8}{2^x}=\frac{8}{y}$. Тогда

$y-2=\frac{8}{y}$, откуда $y^2-2y-8=0$.

$(y-4)(y+2)=0$, значит, $y=4$ или $y=-2$. Условию $y>2$ подходит только $y=4$. Следовательно, $2^x=4=2^2$, то есть $x=2$. Проверка ОДЗ: $2>1$.

Ответ: $2$.

2. \(\log_2(2^x-2)=3-x\). Найти область допустимых значений, решить уравнение и проверить корни.