3. \(\lg 8+x\lg 2=x+\lg(5^x+2)\). Решить уравнение по указанным шагам и проверить корень.

ОДЗ: \(5^x+2>0\). Это верно для всех \(x\in\mathbb R\).

Перенесём \(x\) в левую часть и представим его как \(x\lg 10\), поскольку \(\lg 10=1\):

\(\lg 8+x\lg 2-x\lg 10=\lg(5^x+2)\).

Вынесем \(x\) за скобки и применим свойство разности логарифмов:

\(\lg 8+x\lg(2/10)=\lg(5^x+2)\),
\(\lg 8-x\lg 5=\lg(5^x+2)\),
\(\lg\left(\frac{8}{5^x}\right)=\lg(5^x+2)\).

Равенство логарифмов с одинаковым основанием даёт \(\frac{8}{5^x}=5^x+2\). Введём \(5^x=y\), где \(y>0\):

\(\frac{8}{y}=y+2\), откуда \(y^2+2y-8=0\). Тогда \((y+4)(y-2)=0\), поэтому \(y=-4\) или \(y=2\). Так как \(y>0\), остаётся \(5^x=2\), следовательно, \(x=\log_5 2\). Проверка: это число удовлетворяет ОДЗ, а преобразования были равносильными.

Ответ: \(\log_5 2\).